QUESTÃO 02 - de exercícios preparatório para o Exame Nacional do Mestrado em Matemática

2) Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um
hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições:
a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,
b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.
De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são distintas se algum
dos vértices numerados foi pintado com cores diferentes).
A) 12
B) 24
C) 30
D) 6
E) 72

Para o vértices 1 temos 4 possibilidades de cores;
Para o vértices 2 temos 3 possibilidades de cores;
Para o vértices 3 temos 2 possibilidades de cores;
Para o vértices 4 temos 1 possibilidade, pois é oposto ao vértices 1;
Para o vértices 5 temos 1 possibilidade, pois é oposto ao vértices 2;
Para o vértices 6 temos 1 possibilidade, pois é oposto ao vértices 3;

Logo, as maneiras distintas de realizar a pintura do hexágono regular é:

4 . 3 . 2 . 1 . 1 . 1 = 24